Birleşme özelliği, sayıların toplama ve çarpma işlemlerinin, gruplamalarına bakılmaksızın mümkün olduğunu açıklar. Gruplama ile parantez içinde verilen sayılar kastedilir (). Diyelim ki 2, 5, 6 gibi üç sayı ekliyorsunuz. Sonra toplama işlemlerinde sayıları gruplarsak, örneğin 2 + (5 + 6) veya (2 + 5) + 6, her iki şekilde de sonuç aynı olacaktır. Aynı kural çarpma için de geçerlidir, yani 2 x (5 x 6) = (2 x 5) x 6. Bu özellik, yalnızca iki sayının kullanıldığı Değişme özelliği neredeyse benzer.
Işleminin birleştirme özelliği
Toplama
2 + (5 + 6) = (2 + 5) + 6
2 + 11 = 7 + 6
13 = 13
Çarpma
2 × (5 × 6) = (2 × 5) × 6
2 × 30 = 10 × 6
60 = 60
Matematiksel denklemlerin kendi manipülatif prensipleri vardır. Bu prensipler veya özellikler, bu denklemleri çözmek için bize yardımcı olur. Temel olarak, matematikte omurgasını oluşturan ve farklı aritmetik işlemler gerçekleştirmek için kullanılan üç özellik vardır:
• Birleşme özelliği
• Değişme özelliği
• Dağılma özelliği
Associative Özellik Tanımı
Adından da anlaşılacağı gibi, associative kelimesi gruplamayı ifade eder. Associative teriminin kökeni “associate” kelimesinden gelir. Associate özelliği kullanarak gerçekleştirilebilen temel matematiksel işlemler toplama ve çarpım işlemleridir. Bu genellikle 2’den fazla sayıya uygulanabilir.
Daha fazlasını oku:
Rasyonel Sayılar
Değişme özelliği
Dağılma Özelliği
Tamsayıların Özellikleri
Komütatif özellik durumunda olduğu gibi, gruplama sırasının önemi yoktur. Sonucu değiştirmeyecektir. Sayıların gruplaması, terimlerin sırasına bakılmaksızın parantez içinde yapılabilir. Bu nedenle, ilişkilendirme yasası, işlemin hangi kısmının önce gerçekleştirildiğinin önemli olmadığını ifade eder; cevap aynı olacaktır.
Not: Hem ilişkilendirme hem de komütatif özellik yalnızca toplama ve çarpma için geçerlidir.
Toplama İçin Birleşme Özelliği
Toplama, birleşme özelliğini takip eder yani sayılar nasıl parantez içine alınırsa alınsın, sayıların son toplamı aynı olacaktır. Toplama birleşme özelliği şunu belirtir:
(x+y)+z = x+(y+z)
Diyelim ki, 5+10+4 eklemek istiyoruz. Cevabın 19 olduğu görülebilir. Şimdi, sayıları gruplandıralım; 5 ve 10’u parantez içine koyalım. Şöyle elde edilir,
⇒ (5+10)+4 = 15+4 = 19 (BODMAS kuralını hatırlayın)
Şimdi, terimleri gruplandıralım; 10 ve 4’ü parantez içine koyalım;
⇒ 5+(10+4) = 5 + 14 = 19
Evet, her iki durumda da toplamın aynı olduğu görülebilir. Bu, toplama birleşme özelliğidir.
Daha fazla örnek görelim.
(1) 3+(2+1) = (3+2)+1
3+3 = 5+1
6 = 6
S.H.T. = S.H.T.
(2) 4+(-6+2) = [4 + (-6)] + 2
4 + (-4) = [4-6] + 2
4-4 = -2+2
0 = 0
S.H.T. = S.H.T.
Çarpma için İlişkisel Özellik
Çarpma birleşme özelliği için kural şudur:
(xy) z = x (yz)
5×3×2’yi çözdüğümüzde, sonuç olarak 30 elde ederiz. Şimdi, toplamada olduğu gibi terimleri gruplandıralım:
⇒ (5 × 3) × 2 = 15 × 2 = 30 (BODMAS kuralı)
Gruplandırdıktan sonra,
⇒ 5 × (3 × 2) = 5 × 6 = 30
Sonuçlar aynı olacaktır.
Bu nedenle, toplama ve çarpma doğası gereği birleşkendir, ancak çıkarma ve bölme birleşkendir.
Örneğin, 100 ÷ 10 ÷ 5’i bölelim.
⇒ (100 ÷ 10) ÷ 5 ≠ 100 ÷ (10 ÷ 5)
⇒ (10) ÷ 5 ≠ 100 ÷ (2)
⇒ 2 ≠ 50
3 – 2 – 1’i çıkartalım.
⇒ (3 – 2) – 1 ≠ 3 – (2 – 1)
⇒ (1) – 1 ≠ 3 – (1)
⇒ 0 ≠ 2
Bu nedenle, çıkarma ve bölme yöntemleri için birleşme özelliği uygulanamaz.
Rasyonel Sayıların Birleşme Özelliği
Rasyonel sayılar toplama ve çarpma için birleşme özelliğini takip eder.
Varsayalım ki a/b, c/d ve e/f rasyoneldir, o zaman toplamanın birleşme özelliği şu şekilde yazılabilir:
(a/b) + [(c/d) + (e/f)] = [(a/b) + (c/d)] + (e/f)
Benzer şekilde, çarpmanın birleşme özelliği şu şekilde yazılabilir:
(a/b) × [(c/d) × (e/f)] = [(a/b) × (c/d)] × (e/f)
Örnek: (½) + [(¾) + (⅚)] = [(½) + (¾)] + (⅚) ve (½) × [(¾) × (⅚)] = [(½) × (¾)] × (⅚) olduğunu gösterin.
Çözüm: (1/2) + [(3/4) + (5/6)] = (1/2) + [(9 + 10)/12]
= (1/2) + (19/12)
= (6 + 19)/12
= 25/12
[(1/2) + (3/4)] + (5/6) = [(2 + 3)/4] + (5/6)= (5/4) + (5/6)
= (15 + 10)/12
= 25/12
Bu nedenle, (½) + [(¾) + (⅚)] = [(½) + (¾)] + (⅚)
Şimdi, (1/2) × [(3/4) × (5/6)] = (1/2) × (15/24) = 15/48 = 5/16
[(1/2) × (3/4)] × (5/6) = (3/8) × (5/6) = 15/48 = 5/16Bu nedenle, (½) × [(¾) × (⅚)] = [(½) × (¾)] × (⅚)
Rasyonel sayıların çeşitli özellikleri hakkında daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Sıkça Sorulan Sorular
Birleşme özelliği hangi işlemler için uygulanır?
Birleşme özelliği toplama ve çarpma için uygulanır.
Birleşme özelliği nedir?
Birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayı eklenirken (veya çarpılırken), toplamın (veya çarpımın) eklenenlerin gruplandırmasına bağlı olmaksızın aynı olduğunu belirtir.
Birleşme özelliği çıkarma ve bölme için geçerli midir?
Birleşme özelliği çıkarma ve bölme için geçerli değildir.
Çarpma her zaman birleşkendir mi?
Matematikte, gerçel sayıların toplama ve çarpma işlemi birleşkendir.
Birleşme özelliği için genel formül nedir?
Toplama İçin Birleşme Özelliği
Birleşme özelliği için kural: (x+y)+z = x+(y+z)
Çarpma İçin Birleşme Özelliği
Çarpma birleşme özelliği için kural: (xy) z = x (yz)