Matematikte, komütatif özellik veya komütatif kanun, aritmetik işlemler yapılırken terimlerin sırasının önemli olmadığını açıklar.
Komütatif özellik yalnızca toplama ve çarpma işlemleri için geçerlidir. Bu nedenle, herhangi iki sayıyı toplarken veya çarptığımızda sayıların yerini değiştirebilir veya değiştirebiliriz. Bu, tamsayıların önemli özelliklerinden biridir.
Örneğin: 1+2 = 2+1 ve 2 x 3 = 3 x 2.
Değişme özelliği
A + B = B + A (Toplama)
A x B = B x A (Çarpma)
Değişme özelliği nedir?
Girişte zaten tartıştığımız gibi, komütatif özelliğe göre, iki sayı birbirine eklenir veya çarpılırsa, pozisyonlarının değiştirilmesi sonucu değişmez.
Örnekler
2+3 = 3+2 = 5
2 x 3 = 3 x 2 = 6
5 + 10 = 10 + 5 = 15
5 x 10 = 10 x 5 = 50
Bu nedenle, komütatif özelliğe uyan iki kategori operasyon olabilir:
- Toplama komütatif özelliği
- Çarpma komütatif özelliği
Tarih
Komütatif özelliğin resmi kullanımı 18. yüzyılın sonlarında başlamasına rağmen, eski çağlardan beri bilinmektedir.
Komütatif kelimesi, “değişmek veya hareket etmek” anlamına gelen Fransızca “commute veya commuter” kelimesinden türemiştir ve “-ative” ekiyle birleşerek “tend to” anlamına gelir. Bu nedenle, kelimenin kelimenin tam anlamıyla anlamı değiştirme veya hareket etme eğilimindedir. Bu, tamsayıların pozisyonlarını sildiğimizde sonucun aynı kalacağını belirtir.
Toplamanın Değişmeli Özelliği
Toplama komütatif özelliğine göre, iki tam sayı eklediğimizde, sayıların pozisyonları değişse bile cevap değişmez.
A ve B iki tam sayı olsun, o zaman;
A + B = B + A
Toplamanın Değişmeli Özelliğine Örnekler
1 + 2 = 2 + 1 = 3
3 + 8 = 8 + 3 = 11
12 + 5 = 5 + 12 = 17
Çarpmanın Değişmeli Özelliği
Çarpma komütatif özelliğine göre, iki tam sayıyı çarptığımızda, çarpma işleminden sonra elde ettiğimiz cevap, tam sayıların yerleri değiştirilse bile aynı kalır.
A ve B iki tam sayı olsun, o zaman;
A x B = B x A
Çarpmanın Değişmeli Özelliğine Örnekler
1 × 2 = 2 × 1 = 2
3 × 8 = 8 × 3 = 24
12 × 5 = 5 × 12 = 60
Değişmeli Özelliğin Önemli Gerçekleri
- Komütatif özelliği yalnızca iki aritmetik işlem için geçerlidir: Toplama ve Çarpma
- Operatörlerin sırasını değiştirmek sonucu değiştirmez
- Toplama komütatif özelliği: A + B = B + A
- Çarpma komütatif özelliği: A.B = B.A
Diğer Özellikler
Toplama ve çarpmanın diğer önemli özellikleri şunlardır:
- Asosyatif Özellik
- Dağılım Özelliği
Şimdi, asosyatif özellikleri de burada gözlemleyin:
Toplama ve Çarpmanın İlişkisel Özelliği
Asosyatif kanuna göre, sayılar gruplandırıldığı şekilde önemli olmaksızın birbirleriyle ekleyebilir veya çarparız, cevap aynı olacaktır. Başka bir deyişle, parantezlerin yerleşimi eklemek veya çarpmakla ilgili olduğunda önemli değildir.
Dolayısıyla,
- A + (B + C) = (A + B) + C
- A.(B.C) = (A.B).C
Örnekler:
1 + (2+3) = (1+2) + 3 → 6
3 x (4 x 2) = (3 x 4) x 2 → 24
Çarpmanın Dağıtıcı Özelliği
Bölme dağılım özelliği, bir toplamı bir sayıyla çarpmayla her bir toplamı değerin değerini çarparak ve ürünleri ardından ekleyerek çarpmakla aynı olduğunu belirtir.
Dağılım Özelliğine göre, a, b, c gerçel sayılar ise:
- a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Örnek:
2 x (5 + 8) = (2 x 5) + (2 x 8)
2 x (13) = 10 + 16
26 = 26
Bazı diğer özellikler, tamsayılar için tanıtılan Kimlik özelliği, kapalılık özelliği gibi özellikler bulunmaktadır.
Değişmeli Olmayan Özellik
Bazı işlemler komütatif değildir. Komütatif olmadığından, sıralamanın değiştirilmesi farklı sonuçlar verir. Matematiksel işlemlerden çıkarma ve bölme, iki komütatif olmayan işlemdir. Toplamadan farklı olarak, çıkarma işleminde terimlerin sırasının değiştirilmesi farklı cevaplar verir.
Örnek: 4 – 3 = 1 ancak 3 – 4 = -1 farklı iki tamsayıdır.
Ayrıca, bölme komütatif yasasını takip etmez. Yani,
6 ÷ 2 = 3
2 ÷ 6 = 1/3
Bu nedenle, 6 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 6
Değişmeli Özellik Üzerine Çözülmüş Örnekler
Örnek 1: Hangisi komütatif yasaya uyar?
3 × 12
4 + 20
36 ÷ 6
36 – 6
-3 × 4
Çözüm: Seçeneklerden 1, 2 ve 5 komütatif yasaya uyar.
Açıklama:
3 × 12 = 36 ve
12 x 3 = 36
=>3 x 12 = 12 x 3 (komütatif)
4 + 20 =24 ve
20 +4=24
=>4 +20=20 +4 (komütatif)
36 ÷6=6 ve
6 ÷36=0.167
=>36 ÷6 ≠6 ÷36 (komütatif değil)
36–6=30 ve
6–36=–30
=>36–6 ≠6–36 (komütatif değil)
-3 ×4= -12 ve
4x -3= -12
=>-3 ×4=4x -3 (komütatif)
Soru 2: a = 10 ve b = 9 olduğunda a + b = b + a olduğunu kanıtlayın.
Sol: Verilen, a = 10 ve b = 9 olduğunda
SOL = a+b = 10 + 9 = 19 ……(1)
SAĞ = b + a = 9 + 10 = 19 ……(2)
Denklem 1 ve 2’ye göre, toplamanın değişme özelliğine göre;
SOL = SAĞ
Bu nedenle, kanıtlandı.
Soru 3: A.B = B.A olduğunu kanıtlayın, eğer A = 4 ve B = 3 ise.
Çözüm: Verilen, A = 4 ve B = 3.
A.B = 4.3 = 12 ….. (1)
B.A = 3.4 = 12 ….. (2)
Eşitlik (1) ve (2)’den, çarpma işleminin komütatif özelliğine göre;
LHS = RHS
A.B = B.A
Böylece, kanıtlandı.
Pratik Sorular
Aşağıdakilerden hangisi toplamanın ve çarpmanın komütatif özelliğidir?
3 + 4 = 4 + 3
10 x 7 = 7 x 10
8 x 9 = 9 x 8
6 + 4 = 4 + 6
Sıkça Sorulan Sorular
Değişme özelliği nedir? Örnekler ver.
Matematikte, komütatif bir özellik, toplama veya çarpma işlemlerini yaparken tamsayıların yerlerinin değiştirilmesi durumunda, cevabın aynı kalmasını ifade eder.
Örnekler şunlardır:
4+5 = 5+4 ve 4 x 5 = 5 x 4
9 + 2 = 2 + 9 ve 9 x 2 = 2 x 9
Toplamanın değişme özelliği nedir?
İki sayı bir araya geldiğinde, sayıların yerlerini değiştirirsek, ikisinin toplamı aynı kalır.
Örneğin, 3+4 = 4+3 = 7
Çarpmanın değişme özelliği nedir?
İki sayı bir araya geldiğinde ve sayıların yerlerini değiştirirsek, ikisinin çarpımı aynı kalır.
Örneğin, 5 x 3 = 3 x 5 = 15
Matematikteki başlıca dört özellik nedir?
Matematikteki dört temel özellik şunlardır:
Kimlik özelliği, komütatif özellik, ilişkisel özellik ve dağıtma özelliği
Değişmeli ve ilişkisel özellik arasındaki fark nedir?
Komütatif özellik sayıların sırasından bağımsız olarak geçerlidirken, toplama veya çarpma işlemlerinde. Oysa ilişkisel özellik sayıların gruplandırılmasından bağımsız olarak geçerlidir.