Karekök

Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir değerdir. Karekök, bir sayıyı kare yapmanın ters yöntemidir. Dolayısıyla, kareler ve karekökler ilişkili kavramlardır.

Diyelim ki x, y’nin kareköküdür, o zaman bu x=√y olarak gösterilir, ya da aynı denklemi x² = y olarak ifade edebiliriz. Burada ‘√’ sembolü, sayıların kökünü temsil etmek için kullanılan kök sembolüdür. Pozitif sayı, kendisiyle çarpıldığında sayının karesini temsil eder. Bir pozitif sayının karesinin karekökü, orijinal sayıyı verir.

Örneğin, 3’ün karesi 9’dur, 3² = 9 ve 9’un karekökü, √9 = 3’tür. 9 mükemmel bir kare olduğundan, karekökünü bulmak kolaydır. Ancak 3, 7, 5 gibi mükemmel olmayan bir kare için, karekökünü bulmak için farklı yöntemler kullanmamız gerekmektedir. 1’den 25’e kadar olan karekökleri burada bazı kısayol hileleriyle öğrenin.

Kareköklerin Tanımı

Herhangi bir sayının karekökü, karesi alındığında orijinal sayıyı veren bir sayıya eşittir. Diyelim ki m pozitif bir tam sayıdır, bu durumda  √(m.m) = √(m²) = m olur.

Matematikte, karekök fonksiyonu, pozitif bir sayıyı giriş olarak alan ve verilen giriş sayısının karekökünü döndüren bir-birine karşılık gelen bir fonksiyon olarak tanımlanır.

f(x) = √x

Örneğin, x=4 ise, fonksiyon çıktı değeri olarak 2’yi döndürür.

Not: Negatif bir sayının karekökü karmaşık bir sayıyı temsil eder.

Diyelim ki √-n = i√n, burada i sanal bir sayıdır.

Karekök Sembolü

Karekök sembolü genellikle ‘√’ olarak belirtilir. Bunun kök sembolü olarak adlandırılır. Bir sayı ‘x’in karekökünü bu sembol kullanarak şu şekilde yazabiliriz: ’ √x ‘

burada x sayıdır. Kök sembolünün altındaki sayıya radykal denir. Örneğin, 6’nın karekökü de 6’nın radykali olarak temsil edilir. Her ikisi de aynı değeri temsil eder.

Karekök Formülü Karekök bulma formülü şu şekildedir:

y = √a

Çünkü, y.y = y² = a; burada ‘a’, ‘y’ adlı bir sayının karesidir.

Karekök Özellikleri

Karekökün önemli özellikleri aşağıdaki gibidir:

• Bir sayı tam kare bir sayıysa, o zaman tam kare bir kök vardır.
• Bir sayı çift sayıda sıfırla (0’larla) bitiyorsa, bu sayının bir karekökü olabilir.
• İki karekök değeri çarpılabilir. Örneğin, √3, √2 ile çarpılabilir, sonuç √6 olmalıdır.
• İki aynı karekök çarpılırsa, sonuç radykal bir sayı olmalıdır. Bu, sonucun karekök olmayan bir sayı olduğu anlamına gelir. Örneğin, √7 √7 ile çarpıldığında elde edilen sonuç 7’dir.
• Negatif sayıların karekökü tanımlanmamıştır çünkü tam kare negatif olamaz.
• Bir sayı 2, 3, 7 veya 8 ile (birler basamağında) bitiyorsa, tam kare kök mevcut değildir.
• Bir sayı birler basamağında 1, 4, 5, 6 veya 9 ile bitiyorsa, bu sayının tam kare bir kökü olabilir.

Sayıların Karekökünü Nasıl Buluruz?

Herhangi bir sayının karekökünü bulmak için, verilen sayının mükemmel bir kare mi yoksa mükemmel olmayan bir kare mi olduğunu anlamamız gerekiyor. Eğer sayı mükemmel bir kare ise, örneğin 4, 9, 16 vb., o zaman sayıyı asal faktörlerine ayırma yöntemiyle faktörize edebiliriz. Eğer sayı mükemmel olmayan bir kare ise, örneğin 2, 3, 5 vb., o zaman karekökünü bulmak için uzun bölme yöntemini kullanmamız gerekiyor.

Dolayısıyla, sayıların karekökünü bulma yöntemleri:

• Asal Çarpanlara Ayırma ile Karekök
• Tekrarlı Çıkarma Yöntemi ile Karekök
• Uzun Bölme Yöntemi ile Karekök
• Tahmin Yöntemi ile Karekök

Örneklerle karekök alma yöntemlerini öğrenelim.

Asal Faktörlerine Ayırma ile Karekök

Bir mükemmel kare sayının karekökü, asal çarpanlar yöntemi kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Burada bazı örnekleri çözelim:

Sayı	Asal Çarpanlar	Karekök
16	2x2x2x2	√16 = 2×2 = 4
144	2x2x2x2x3x3	√144 = 2x2x3 = 12
169	13×13	√169 = 13
256	2×2×2×2×2×2×2×2	√256 = (2x2x2x2) = 16
576	2x2x2x2x2x2x3x3	√576 = 2x2x2x3 = 24

Tekrarlanan Çıkartma Yöntemiyle Karekök Bulma

Tekrarlanan çıkarma yöntemine göre, bir sayı mükemmel bir kareyse, karekökünü aşağıdaki şekilde belirleyebiliriz:

• Ardışık tek sayıları sürekli olarak çıkarın
• Fark sıfır olana kadar çıkarın
• Çıkardığımız sayılar gereken karekökün miktarıdır

Örneğin, 25’in karekökünü bulalım.

• 25 – 1 = 24
• 24 – 3 = 21
• 21 – 5 = 16
• 16 – 7 = 9
• 9 – 9 = 0

Çıkarma işlemi 5 kez yapıldığından dolayı, 25’in karekökü 5’tir.

Uzun Bölme Yöntemiyle Karekök Bulma

Mükemmel olmayan sayıların kareköklerini bulmak biraz zordur ancak uzun bölme yöntemi kullanarak hesaplayabiliriz. Bu, aşağıda verilen örnekle anlaşılabilir. 436’nın karekökünü bulma örneğini düşünün.

Dolayısıyla, 436’nın karekökü 20.880’dir (3 basamağa yuvarlama).

Tahmini Yöntemle Karekök Çıkarımı

Bu yöntem, değerleri tahmin ederek karekök bulmak için bir yaklaşım yöntemi olarak kullanılır.

Örneğin, 4’ün karekökü 2 ve 9’un karekökü 3’tür, bu nedenle, 5’in karekökünün 2 ve 3 arasında olacağını tahmin edebiliriz.

Ancak, √5’in değerinin 2’ye mi daha yakın olduğunu yoksa 3’e mi olduğunu kontrol etmemiz gerekiyor. 2.2’nin ve 2.8’in karesini bulalım.

• 2.2² = 4.84
• 2.8² = 7.84

2.2’nin karesi yaklaşık olarak 5 değerini verdiği için, 5’in karekökünün yaklaşık olarak 2.2 olduğunu tahmin edebiliriz.

Hesap Makinesi Olmadan Karekök Nasıl Bulunur?

Bu, belirli bir sayının karekökünü bulmak için oldukça ilginç bir yol. Prosedür tamamen “tahmin et ve kontrol et” adı verilen metoda dayanıyor. Cevabınızı tahmin edin ve doğrulayın. İstenilen doğru sonuca sahip olana kadar prosedürü tekrarlayın. Bir sayının karekökünü bulmak için uzun bölme yöntemini de kullanabiliriz.

Mükemmel Karelerin Karekökü

Aşağıda karekökleri kolayca bulunabilen mükemmel kare sayılar bulunmaktadır.

• 1² = 1 ⇔ √1 = 1
• 2² = 4 ⇔ √4 = 2
• 3² = 9 ⇔ √9 = 3
• 4² = 16 ⇔ √16 = 4
• 5² = 25 ⇔ √25 = 5
• 6² = 36 ⇔ √36 = 6
• 7² = 49 ⇔ √49 = 7
• 8² = 64 ⇔ √64 = 8
• 9² = 81 ⇔ √81 = 9
• 10² = 100 ⇔ √100 = 10

Dolayısıyla, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 buradaki tam karelerdir. Burada bazı sayıların kareköklerini kontrol edin:

Karekök Tablosu (1’den 50’ye)

İşte 1’den 50’ye kadar olan sayıların kareköklerinin listesi.

√n	Değer	√n	Değer	√n	Değer
√1	1	√18	4.2426	√35	5.9161
√2	1.4142	√19	4.3589	√36	6
√3	1.7321	√20	4.4721	√37	6.0828
√4	2	√21	4.5826	√38	6.1644
√5	2.2361	√22	4.6904	√39	6.2450
√6	2.4495	√23	4.7958	√40	6.3246
√7	2.6458	√24	4.8990	√41	6.4031
√8	2.8284	√25	5	√42	6.4807
√9	3	√26	5.0990	√43	6.5574
√10	3.1623	√27	5.1962	√44	6.6332
√11	3.3166	√28	5.2915	√45	6.7082
√12	3.4641	√29	5.3852	√46	6.7823
√13	3.6056	√30	5.4772	√47	6.8557
√14	3.7417	√31	5.5678	√48	6.9282
√15	3.8730	√32	5.6569	√49	7
√16	4	√33	5.7446	√50	7.0711
√17	4.1231	√34	5.8310	–	–

Ondalık Kökü

Bir ondalık değeri, 3.8, 5.2, 6.33 gibi bir nokta (.) içerecektir. Bir tam sayı için karekökün nasıl elde edildiğini anladık, ancak ondalığın karekökünün nasıl alınacağını görelim.

Örnek: 0.09’un karekökünü bulun. N² = 0.09 olsun.

Her iki tarafın da karekökünü alalım.

N = ±√0.09

Bildiğimiz gibi,

0.3 x 0.3 = (0.3)² = 0.09

Dolayısıyla,

N = ±√(0.3)²

N = ±(0.3)

Negatif Sayının Karekökü

Negatif bir sayının karekökü gerçek bir sayı değil, karmaşık bir sayıdır. Bunun nedeni, herhangi bir tam sayının karesinin pozitif bir değer olmasıdır. Diyelim ki, -y’nin karekökü: √(-y)= i√y şeklindedir, burada ‘i’ -1’in kareköküdür.

Karmaşık Sayıların Karekökü

Karmaşık sayıların karekökünü bulmak biraz karmaşıktır. Aşağıdaki formülü kullanarak a+ib’nin karekökünü bulabiliriz:

a+ib karmaşık bir sayıdır.

Karekök Denklemini Nasıl Çözeriz?

Karekök denklemi, kökün radikandında bir değişkeni olan bir denklemdir. Ayrıca radikal denklem olarak da adlandırılır.

Radikal denklemi çözmek için aşağıdaki adımları izlememiz gerekiyor:

• Karekökü bir tarafa (S.T.Y veya S.G.Y) izole edin.
• Verilen denklemin her iki tarafını kare alın
• Şimdi geri kalan denklemi çözün.

Adımları örneklerle anlayalım.

Örnek: √(4a+9) – 5 = 0 şeklindeki kök denklemini çözün.

Çözüm: Verilen, √(4a+9) – 5 = 0

İlk önce karekök terimini izole edin. Sonra denklem şu şekilde olur,

√(4a+9) = 5

Şimdi her iki tarafı da kareye alırsak; 4a+9 = 5²

4a + 9 = 25

4a = 16

a = 16/4

a = 4

Koşul 1: Denklemde birden fazla kök veya karekök varsa.

Eğer kök denkleminde birden fazla kök varsa, her bir karekök için yukarıda verilen adımları tekrarlayın.

Örnek: √(2x−5) − √(x−1) = 1 denklemini çözelim. Bir karekökü izole edelim.

√(2x−5) = 1 + √(x−1)

Şimdi her iki tarafı da kareye çıkaralım

2x – 5 = (1 + √(x−1))²

Cebirsel kimliği uygulayın, (a+b)² = a² + b² + 2ab.

2x−5 = 1 + 2√(x−1) + (x−1)

2x−5 = 2√(x−1) + x

x−5 = 2√(x−1)

Şimdi yine karekökü izole edin.

√(x−1) = (x−5)/2

x−1 = ((x−5)/2)²

x−1 = (x2 − 10x + 25)/4

4x−4 = x² − 10x + 25

4x − 4 − x² + 10x − 25 = 0

−x² + 14x − 29 = 0

x² − 14x + 29 = 0

İkinci derece formülünü kullanarak, yukarıdaki denklemleri çözebiliriz.

x = 2.53 ve x = 11.47

Bir Sayının Karesini Bulma

Bir sayının karesini bulmak için, sayıyı kendisiyle çarpmamız gerekiyor.

Örneğin, 2’nin 2 ile çarpımı 4’e eşittir.

Aşağıda, toplamda dört blok gösteren 2’ye 2’lik bir tablo bulunmaktadır.

1	2
3	4

Benzer şekilde,

5’in karesi: 5 çarpı 5 = 5 x 5 = 52 = 25

9’un karesi = 92 = 9 x 9 = 81

15’in karesi = 152 = 15 x 15 = 225

Kareköklerin Uygulamaları

Karekök formülü, matematiğin birçok pratik uygulaması ile ilgilenen önemli bir matematik bölümüdür ve ayrıca bilgisayar gibi diğer alanlarda da uygulamaları vardır. Uygulamalardan bazıları şunlardır:

• İkinci derece denklemler
• Cebir
• Geometri
• Kalkülüs

Sayıların Kareköklerinin Listesi

• 1’in Karekökü
• 2’nin Karekökü
• 3’ün Karekökü
• 4’ün Karekökü
• 5’in Karekökü
• 6’nın Karekökü
• 7’nin Karekökü
• 8’in Karekökü
• 9’un Karekökü
• 10’un Karekökü
• 11’in Karekökü
• 12’nin Karekökü
• 120’nin Karekökü
• 20’nin Karekökü
• 289’un Karekökü
• 576’nın Karekökü
• 144’ün Karekökü
• 1’den 100’e kadar olan sayıların karekökü

Karekökler Üzerine Çözümlü Örnekler

Bu kavramı bir örnek yardımıyla anlamaya çalışalım:

Örnek 1: √10’u 2 ondalık basamağa kadar çözün.

Çözüm:

Adım 1: Sayınızın arasında düşeceğini düşündüğünüz iki mükemmel karekök seçin.

2² = 4; 3² = 9, 4² = 16 ve  5² = 25 bildiğimize göre

Şimdi, 3 ve 4’ü seçin (√10 bu iki sayı arasında bulunur)

Adım 2: Verilen sayıyı seçtiğiniz kareköklerden birine bölün.

10’u 3’e bölün.

=> 10/3 = 3.33 (cevabı 2 basamakta yuvarlayın)

Adım 3: Yukarıdaki adımdan elde edilen sonucun ve kökün ortalamasını bulun yani.

(3 + 3.33)/2 = 3.1667

Doğrulama: 3.1667 x 3.1667 = 10.0279 (Gerekli değil)

Adım 2 ve Adım 3’ü tekrarlayın

Şimdi, 10/3.1667 = 3.1579

3.1667 ve 3.1579’un ortalaması.

(3.1667+3.1579)/2 = 3.1623

Doğrulama: 3.1623 x 3.1623 = 10.0001 (daha doğru)

İşlemi durdurun.

Örnek 2: 1’den 100’e kadar olan tam sayıların kareköklerini bulun ki bu sayılar mükemmel karelerdir.

Çözüm: 1’den 100’e kadar mükemmel kareler: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Karekök	Sonuç
√1	1
√4	2
√9	3
√16	4
√25	5
√36	6
√49	7
√64	8
√81	9
√100	10

Örnek 3: Nedir:

1. 2’nin karekökü
2. 3’ün karekökü
3. 4’ün karekökü
4. 5’in karekökü

Çözüm: Karekök listesini kullanarak, elde ediyoruz

1. 2’nin karekökü yani √2 = 1.4142 değeri
2. 3’ün karekökü yani √3 = 1.7321 değeri
3. 4’ün karekökü yani √4 = 2 değeri
4. 5’in karekökü yani √5 = 2.2361 değeri

Örnek 4: Negatif bir Sayının Karekökü tam bir sayı mıdır?

Çözüm: Hayır, Karekök tanımına göre, negatif sayıların karekökü olmamalıdır. Çünkü eğer

iki negatif sayıyı çarparsak, sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Negatif sayıların karekökleri

i (hayali sayılar) çarpanları olarak ifade edilir.

Örnek 5: Denklemini çöz: √(x+2) = 4

Çözüm: Verilen,

√(x+2) = 4

Her iki tarafı da kareye çıkarırsak, elde ederiz;

x+2 = √4

x+2 = ±4

x = ±4 – 2

Dolayısıyla,

x = 2 veya x = -6

Karekökler Üzerine Pratik Sorular

• 64’ün karekökü nedir?
• √142’yi basitleştirin
• 250’nin karekökünü bulun
• 10000’in karekökü nedir?
• √12’nin değerini bulun.
• √155, √121 ve √139 mükemmel kareler mi?

Karekökler ve diğer Matematik konularını daha etkili ve ilgi çekici bir şekilde öğrenmek için Artiegitim ile kaydolun.

Sıkça Sorulan Sorular Karekök hakkında

Matematikte karekök nedir?

Karekök, çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir değerdir.

Karekök nasıl bulunur?

Karekökü bulmak için dört yöntem kullanabiliriz: Asal çarpanlara ayırma, Tekrarlanan Çıkarma, Uzun bölme ve Tahmin yöntemi.

Bu sembol ‘√’ ne anlama geliyor?

‘√’, bir sayının karekökünü belirtmek için kullanılan bir semboldür.

Kareler ve karekökler nedir?

Karekök, bir sayının karesini almanın tam tersi bir süreçtir. Diyelim ki bir sayının n’nin karesini alıyoruz, yani n², o zaman n²’nin karekökü orijinal sayı n’ye eşittir.

Mükemmel karelerin karekökü nasıl bulunur?

Asal çarpanlara ayırma yöntemi kullanarak mükemmel karelerin karekökünü bulabiliriz.

Mükemmel olmayan karelerin karekökü nasıl bulunur?

Uzun bölme yöntemi kullanarak mükemmel olmayan karelerin karekökünü bulabiliriz.