Kareler ve karekökler, her ikisi de birbirinin karşıtı olan kavramlardır. Kareler, bir değerin kendi kendine çarpılması sonucu oluşan sayılardır. Karekökü ise, kendi kendine çarpıldığında orijinal değeri veren bir değerdir. Dolayısıyla, her ikisi de birbirinin tersi olan yöntemlerdir. Örneğin, 2’nin karesi 4’tür ve 4’ün karekökü 2’dir.
Eğer n bir sayıysa, karesi n’nin 2’ye yükseltilmiş hali olarak ifade edilir, yani, n² ve karekökü ‘√n’ olarak ifade edilir, burada ‘√’ kök sembolüdür. Kök işareti altındaki değere radicand denir.
Kare sayılar genellikle bir karenin alanı cinsinden açıklanır. Bir karenin şekli, tüm kenarlarının eşit olması şeklindedir. Dolayısıyla, bir karenin alanı (kenar x kenar) veya kenar²’ye eşittir. Dolayısıyla, karenin bir kenarının uzunluğu 3cm ise, alanı 3²= 9 cm²’dir.
Kare Sayıların Özellikleri
Kare sayılar, bir sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen değerlerdir. Bazı özellikleri şunlardır:
- 1’in karesi 1’e eşittir
- Pozitif sayıların karesi doğa gereği pozitiftir
- Negatif sayıların karesi de doğası gereği pozitiftir. Örneğin, (-3)² = 9
- Sıfırın karesi sıfırdır
- Bir sayının kökünün karesi, kök altındaki değere eşittir. Örneğin, (√3)² = 3
- Herhangi bir çift sayının karesinin birler basamağı yalnızca çift bir sayı olacaktır.
- Bir sayının birler basamağında 1 veya 9 varsa, karesi 1 ile biter.
- Bir sayının birler basamağında 4 veya 6 varsa, karesi 6 ile biter.
Ayrıca okuyun:
- Karekök Formülü
- Asal Çarpanlara Ayırma Yoluyla Karekök
- Karekök Hileleri
Kare Sayılar 1’den 50’ye
| 12 = 1 | 112 = 121 | 212 = 441 | 312 = 961 | 412 = 1681 |
| 22 = 4 | 122 = 144 | 222 = 484 | 322 = 1024 | 422 = 1764 |
| 32 = 9 | 132 = 169 | 232 = 529 | 332 = 1089 | 432 = 1849 |
| 42 = 16 | 142 = 196 | 242 = 576 | 342 = 1156 | 442 = 1936 |
| 52 = 25 | 152 = 225 | 252 = 625 | 352 = 1225 | 452 = 2025 |
| 62 = 36 | 162 = 256 | 262 = 676 | 362 = 1296 | 462 = 2116 |
| 72 = 49 | 172 = 289 | 272 = 729 | 372 = 1369 | 472 = 2209 |
| 82 = 64 | 182 = 324 | 282 = 784 | 382 = 1444 | 482 = 2304 |
| 92 = 81 | 192 = 361 | 292 = 841 | 392 = 1521 | 492 = 2401 |
| 102 = 100 | 202 = 400 | 302 = 900 | 402 = 1600 | 502 = 2500 |
Negatif Sayıların Kareleri
Negatif sayıların kareleri pozitif bir değer verir, çünkü eğer iki negatif sayıyı çarparsak bu bir pozitif sayı sonucunu verir.
Şunu unutmayın: (-) x (-) = (+)
Bu yüzden, (-n) sayısının karesi, (-n)2 = (-n) x (-n) = n2
Burada n bir sayıdır.
Örnekler:
- (-5)2 = (-5) x (-5) = 25
- (-7)2 = (-7) x (-7) = 49
Kareler Arasındaki Sayılar
Varsayalım ki iki kare sayı n2 ve (n+1)2 var, bu iki kare arasındaki toplam sayılar 2n tarafından belirlenir.
32 ve 42’nin iki kare olduğunu söyleyelim.
32 = 9 ve 42 = 16
9 ve 16 arasında bulunan sayıları bulmamız gerekiyor.
Burada, n = 3
Dolayısıyla, 9 ve 16 arasındaki toplam sayılar = 2n = 2 x 3 = 6
Doğru mu? Kontrol edelim.
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Gördüğümüz gibi, 9 ile 16 arasındaki sayılar 6’dır. Dolayısıyla, yukarıda verilen formül tüm karelere uygulanabilir.
(n+1)2 = 2n Arasındaki Sayılar = n2, burada n herhangi bir doğal sayıdır.
Sayının Karekökleri
Daha önce de tartıştığımız gibi, bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında orijinal sayıyı veren değerdir. ‘√’ sembolü ile gösterilir. Eğer n’in karekökü a ise, o zaman a’nın kendisiyle çarpımı n’ye eşittir. Bu şekilde ifade edilebilir:
√n = a o zaman a x a = n
Bu, karekök formülüdür.
Mükemmel Karelerin Karekökleri
Mükemmel kareler, karekökü tam sayı verenlerdir. Örneğin, 4 mükemmel bir karedir çünkü 4’ün karekökünü aldığımızda, bu 2’ye eşittir ve bu bir tam sayıdır. Mükemmel karelerin ve kareköklerinin bazılarına bakalım.
| Mükemmel Kareler | Karekök (√) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
| 25 | 5 |
Mükemmel Olmayan Karekökler
Mükemmel karelerin karekökünü bulmak kolaydır ancak kusurlu karelerin kökünü bulmak zordur. Mükemmel karenin kökü asal çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak tahmin edilebilir.
Kusurlu karelerin karekökü genellikle kesirlerdir. Örneğin, 2 bir kusurlu karedir çünkü 2 asal çarpanlara ayrılamaz ve karekökü kesirli bir değer verir.
Örnekler:
- √2 = 1.4142
- √3 = 1.7321
- √8 = 2.8284
Karekökler 1’den 50’ye
| √n | Değer | √n | Değer | √n | Değer |
|---|---|---|---|---|---|
| √1 | 1 | √18 | 4.2426 | √35 | 5.9161 |
| √2 | 1.4142 | √19 | 4.3589 | √36 | 6 |
| √3 | 1.7321 | √20 | 4.4721 | √37 | 6.0828 |
| √4 | 2 | √21 | 4.5826 | √38 | 6.1644 |
| √5 | 2.2361 | √22 | 4.6904 | √39 | 6.2450 |
| √6 | 2.4495 | √23 | 4.7958 | √40 | 6.3246 |
| √7 | 2.6458 | √24 | 4.8990 | √41 | 6.4031 |
| √8 | 2.8284 | √25 | 5 | √42 | 6.4807 |
| √9 | 3 | √26 | 5.0990 | √43 | 6.5574 |
| √10 | 3.1623 | √27 | 5.1962 | √44 | 6.6332 |
| √11 | 3.3166 | √28 | 5.2915 | √45 | 6.7082 |
| √12 | 3.4641 | √29 | 5.3852 | √46 | 6.7823 |
| √13 | 3.6056 | √30 | 5.4772 | √47 | 6.8557 |
| √14 | 3.7417 | √31 | 5.5678 | √48 | 6.9282 |
| √15 | 3.8730 | √32 | 5.6569 | √49 | 7 |
| √16 | 4 | √33 | 5.7446 | √50 | 7.0711 |
| √17 | 4.1231 | √34 | 5.8310 | – | – |
Kareler ve Karekökler Hakkında Sıkça Sorulan Sorular
Kareler ve karekökler nedir?
Kare sayılar, bir değerin kendisiyle çarpılması sonucu oluşan sayılardır. Örneğin, n bir sayıysa ve kendisiyle çarpılırsa, n’nin karesi n2 olarak verilir. Örneğin, 10’un karesi 102 = 10 x 10 = 100’dür.
Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir değerdir. ‘√’ sembolüyle temsil edilir. Örneğin, 25’in karekökü √25 = 5’tir.
Mükemmel kareler nedir? Bir örnek verin.
Mükemmel kareler, karekökü tam sayı veren sayılardır. Örneğin, 9 mükemmel bir karedir, çünkü kökü tam bir sayıdır, yani √9 = 3.
Örneklerle eksik kare nedir?
Eksik kare, karekökü bir kesir veren bir sayıdır. Eksik karenin karekökünü alarak oluşturulan değer de sonu gelmeyebilir.
Örneğin, 3 eksik bir karedir çünkü kökü,
√3 = 1.73205080757, ki bu bir kesirdir.
Karekök nasıl bulunur?
Bir sayının karekökünü bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz. Örneğin, 900’ün karekökü:
√900 = √(2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 )
Sayıları çift olarak alırsak;
√900 = 2 x 3 x 5 = 30 elde ederiz.
900 mükemmel bir karedir, ancak eksik bir karenin kökünü bulmak için uzun bölme yöntemini kullanmalıyız.
Bir kare ile karekök arasındaki fark nedir?
Bir sayının karekökü, karesi alınmış bir sayının kökünü verir. İşte bu onların arasındaki temel farktır.